突擊測驗悖論(The Surprise test paradox)

設想某天課堂裡,老師宣佈下星期的某個上課日(星期一至星期五)舉行測驗,而且大家預料不到這個測驗將在哪一天舉行。不過,有個學生阿捷聽到這宣佈後,卻試圖從這宣佈進行推論,去預測哪一天會舉行這場測驗。有趣的是,阿捷得出了驚奇的結論:「下星期不可能舉行這場測驗。」

阿捷的推論過程如下:

1.    如果這場測驗是在星期五舉行,那麼在這前一天晚上,亦即是星期四,我可以預料到星期五會舉行。但根據老師的宣佈,這個測驗是我預料不到在哪一天舉行,於是形成矛盾,因此這場測驗不可能是在星期五舉行。(這推論形式為歸謬法

2.    那麼,這場測驗有可能在星期四舉行嗎?不能。如果這場測驗是在星期四舉行,也就是星期一至星期三並沒有舉行這場測驗,那在星期三晚上,我將預料到這場測驗或是在星期四舉行,或是在星期五舉行。但根據上述的推論(1),這場測驗不可能在星期五舉行,所以在星期三晚上,我將預料到這場測驗會在星期四舉行。但由於根據老師的宣佈,這個測驗是我預料不到在哪一天舉行,於是形成矛盾,因此這場測驗不可能在星期四舉行。

3.    根據上述的推論(1)和(2),我已排除星期四與星期五舉行測驗的可能。因此,這場考試只可能在星期一至星期三的其中一天舉行。然而,根據上述同樣的推論步驟,測驗都不會在星期三、星期二舉行。最後,只剩下星期一有可能舉行這場測驗。但如果只剩下星期一有可能舉行這場測驗,我顯然便會預料到它在星期一舉行,所以這場測驗也不會在星期一舉行。最後,由於這場測驗在下星期哪一天舉行,我都會預料得到。所以這場預料不到的測驗不可能舉行。

現在問題出現了。到底老師能否實現他的宣佈呢?我們似乎有兩種互相矛盾的結論:如果根據阿捷的推論,那麼老師不可能舉行這場預料不到的測驗。但另一方面,常識卻告訴我們,老師當然可能舉行這場預料不到的測驗。因此,悖論(Paradox)就出現了:阿捷的推論看起來正確無誤,卻推論出荒謬的結論。

面對這個悖論,也許有人認為,預料不到的測驗當然可能在下星期的其中一天舉行。所以,如果阿捷推論出下星期不可能有這場測驗,那麼阿捷應該不要相信老師的宣佈,那就沒有理由根據老師的宣佈作出推論。悖論應該取消。

不過,這樣的解決方案是錯失要旨。根據常識,我們當然知道預料不到的測驗有可能在下星期舉行。問題是,阿捷的推論看起來是正確無誤,卻推論出荒謬的結論。既然我們不承認阿捷的結論,自然需要找出阿捷的推論到底在哪裡出了問題,而不是直接否定阿捷的結論,因而否定這個悖論的前設。

我們應該如何處理這個悖論?不同學者有不同的回應。有些視老師和學生為互相博弈,使用博弈論(Game theory)作出回應;有些視悖論為自我指涉悖論的一種,用邏輯觀點消解(resolve)悖論;有些則使用哥德爾不完備定理處理這個悖論。

不過,在當代不少哲學家都視它為知識論的一種悖論。他們主張「一個測驗是大家預料不到」的意思是「大家無法預先知道這測驗在哪一天舉行」、學生的整個推論過程中涉及到自己的認知狀態,因此,它是與知識論概念相關的悖論。

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